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新课程理念下数学教学案例研究
时间:[2015年03月20日]  作者:[张彩虹]  点击数:2120

(播放视频)这个视频资料对于我们来说并不陌生,初次看到这个视频,觉得非常好笑,其实我们是为这个小女孩的可爱感染着,一个多么可爱的小孩,也许经历几次这样的学习,她在将来学习数学的过程中就会形成阴影,导致对数学之类的学科领域,不管是分析学、代数学、几何学、概率论、物理学、自然科学、产生厌倦,甚至对储蓄、保险、纳税等最常见的生活中的问题都产生莫凌两可的意识。

我们来算一算,想一想,学生在学校,什么活动最多?

学习活动,主要是课堂学习活动最多。

教师在学校,什么工作最重?

教学工作,主要是课堂教学任务最重。

学校办学育人,中心、重心何在?

以教学为中心,以促进师生教与学的身心发展为重。

因此,我们共同追求的就是教与学的协调统一性。教与学在以前的传统教学中存在对立的关系,简单的认为,教学就是教师教,学生学,教师讲,学生听,教师讲授,学生接受,压抑了学生的主体本性,忽视了学生是具有主观能动性的活生生的人,把学生当成了消极的接受知识的容器,其结果往往是高耗低能。新课程中的教学首当其中的一个要素是要明确这个教学活动的目的,我为什么要设计那么一个活动?要素二是否能培养学生的活动技能?要素三是活动层次,难易度是否适中?要素四是活动选择的材料是否符合学生的实际?第五个要素就是活动的程序,或者叫活动的步骤。一个活动你需要哪几个环节,或者哪几个步骤?因为活动肯定要分一些步骤的,先做什么后做什么要考虑到。第六个就是活动的参与者。用我们过去的话讲,谁做什么?和谁或者谁和谁做什么?是学生和学生做活动?还是学生与老师做活动?是两个人之间还是多个人之间?这个参与者非常重要。第七个要素就是活动变化的多样形式,也就是说,活动设计者有一种思路,但是活动在实际实施过程中会有一些调整和变化,特别是我们上课之前,老师备课的时候只能想好了可能这样,可能那样,但实际做的时候,是有些变化的,这个我们可能很多老师都有过体会,或者我们不把它叫变化,叫活动的灵活性,就是根据课堂的实际发生来灵活处理。第八个要素,是活动的评价方式和评价的手段。就是这个活动做完以后,你用什么方式来评价学生做活动的情况。它是不是完整活动?完成效果怎么样?另外学习效果怎么样?需要有一个明确的或者是具体的一个评价的方式。

以数学学科为例,在我国《义务教育阶段数学课程标准》中,把传统的“双基”扩充为“四基”,即在基础知识和基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动经验。由三维目标“知识与技能,过程与方法,情感态度与价值观”转变为四维目标“知识与技能,数学思考,解决问题,情感与态度” 以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体,对人的发展具有十分重要的作用,它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中,数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习,同时,知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。

下面我仅从五个方面,借助教学案例分析的形式,向老师们汇报一下我个人数学教学的体会,这五个方面是:

1、在数学教学活动中体现数学思想;2、在多样化学习活动中实现四维目标的整合;3、课堂教学过程中的预设和生成的动态调整;4、对数学习题课的思考;5、对课堂提问的思考。

案例1:数学教育专家史宁中在《漫谈数学思想》中谈到:“基本数学思想可以归纳为三种基本思想,即抽象、推理和模型。”分析数学教学活动中数学思想的体现。

例,判断7/8和8/9哪个大?

方法1:通分。利用简单的分数加减法的知识。

方法2:学生尝试,6/7和7/8,8/9和9/10哪个大呢?经过多次试验,总会发现“后面”的大于“前面”的,抽象出一般形式:n-1/n和n-2/n-1;(n-1/n)-(n-2/n-1),得到1/n(n-1).

方法3:1/2是n-1/n的最小形式,随着n增加,该分数越来越接近1,如999/1000=0.999,因此,n-1/n“一定”大于n-2/n-1。

第2种方法已经有了数学思想中的“抽象”意识,找到了“一般形式”,第3种方法又增加了“推理”的思想方法,更富弹性、更有想象力。

日本数学家米山国藏说:“作为知识的数学出校门不到两年就忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等,这些随时随地发生作用,使人终身受益”。 杂交水稻之父袁隆平院士回到母校武汉四中时,无意间看到一则宣传数学学习方法的宣传栏,说到读书时候的故事,他说他在读书时候一直都没有搞清楚为什么“负负得正”

他们有区别吗?

建筑师——砌墙的

厨师——炒菜的

艺术家——模仿者

……

教师们,我们在教学时注重培养学生的数学思想了吗?思考:即使是简单的数: …,里面有“数学思想”吗?史宁忠教授认为“基本数学思想不应当是个案的,而必须是一般的。这大概需要满足两个条件:一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。生活形态乃个人价值观与人格的重要表现。 文化与社会群体与个人的期望与价值,生活形态类型与价值,而个人的价值观深受本身的文化影响,即使在同一个环境下,个人的生活形态亦因人差异而有所不同,所以生活形态可以说是个人价值观及人格特质经由不断的整合所产生的结果,这种结果影响一个人的一般行为,进而影响其特定的学习方式。

案例2:在多样化学习活动中实现四维目标的整合

《勾股定理》一课的课堂教学

第一个环节:探索勾股定理的教学

师(出示3幅图形和表格):观察、计算各图中正方形A、B、C的面积,完成表格,你有什么发现?

 

A的面积

B的面积

C的面积

图1

 

 

 

图2

 

 

 

图3

 

 

 

生:从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且,从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边,正方形C的边就是直角三角形的斜边,根据上面的结果,可以得出结论:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这里,教师设计问题情境,让学生探索发现“数”与“形”的密切关联,形成猜想,主动探索结论,训练了学生的归纳推理的能力,数形结合的思想自然得到运用和渗透,“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫,双基教学寓于学习情境之中。

第二个环节:证明勾股定理的教学

教师给各小组分发制作好的直角三角形和正方形纸片,先分组拼图探究,再交流、展示,让学生在实践探究活动中形成新的能力。(试图发现拼图和证明的规律:同一个图形面积用不同的方法表示)。

学生展示略

通过小组探究、展示证明方法,让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来,并试图通过几何意义的理解构造图形,让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法,提升创新思维能力。

第三个环节:运用勾股定理的教学

师(出示图形):如图是由五个正方形组成的图形,能否剪拼为一个面积不变的新的正方形,若能,看谁剪的次数最少。

问题是数学的心脏,学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用,更是对勾股定理探究方法和证明思想(数形结合思想、面积割补的方法、转化和化归思想)的综合运用,从而让学生在解决问题中发展创新能力。

新课程四维目标(知识和技能、数学思考、解决问题、情感与态度)从四个维度构建起具有丰富内涵的目标体系,课程运行中的每一个目标都可以与四个维度发生联系,都应该在这四个维度上获得教育价值。

现代课堂教学不仅仅是让学生取得一个装知识的袋囊,而是从多方位、多角度促进学生全方面的发展。关注学生发展空间。创新课堂教学方式,如何处理好教学中“放”与“收”的关系,这些都是教学在实施过程中所面临的问题。然而教师在钻研新教材,把握教学内容的前提下,适当把四维目标进行整合,对于学生的自主发展、创新思维的培养、实践能力的提高都将有较大的帮助,是实施素质教育的一个有效途径。

案例3:课堂教学过程中的预设和生成的动态调整

学习等式的基本性质时,遇到这样的一个题目:

例:设a、b、c分别表示三种质量不同的物体,如图所示,图①、图②两架天平处于平衡状态。为了使第三架天平(图③)也处于平衡状态,则“?”处应放几个物体b?

通过调查,这个问题只有极少数学生能快速的填上了答案,还不知道是不是真的会解,我需要讲解一下。

我讲解的设计思路是这样的:

引导将图①和图②中的平衡状态,用数学式子(符号语言——数学语言)表示(现实问题数学化——数学建模):

图①:2a=c+b,图②a+b=c

因此,2a=(a+b)+b

可得:a=2b, c=3b

所以,a+c=5b

答案应填5。

我自以为思维严密,有根有据。然而,在让学生展示自己的想法时,却出乎我的意料。

学生这样思考的:

假设b=1,a=2,c=3。所以,a+c=5,答案应填5

学生这是用特殊值法解决问题的,虽然特殊值法也是一种数学方法,但是存在很大的不确定性,不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”,我必须深化学生的思维,但是,还不能打击他的自信心,必须保护好学生的思维成果。因此,我立刻放弃了准备好的讲解方案,以学生思维的结果为起点,进行调整。

我先对学生的方法进行积极地点评,肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用,当那几个同样做法的学生自信心溢于言表时,我随后提出这样一个问题:

“你怎么想到假设b=1,a=2,c=3?a、b、c是不是可以假设为任意的三个数?”

有的学生不假思索,马上回答:“可以是任意的三个数。”也有的学生持否定意见,大多数将信将疑,全体学生被这个问题吊足了胃口,我趁机点拨:

“验证一下吧。”

全班学生立刻开始思考,验证,大约有3分钟的时间,学生们开始回答这个问题:

“b=2,a=3,c=4时不行,不能满足图①、图②中的数量关系。”

“b=2,a=4,c=6时可以。结果也该填5。“

“b=3,a=6,c=9时可以,结果也一样。”

“b=4,a=8,c=12时可以,结果也一样。”

“我发现,只要a是b的2倍,c是b的3倍就能满足图①、图②中的数量关系,结果就一定是5。”

这时,学生的思维已经由特殊上升到一般了,也就是说在这个过程中,学生的归纳推理得到了训练,对特殊值法也有了更深的体会,用字母表示发现的规律,进而得到a=2b,c=3b。所以,a+c=5b。答案应填5。

我的目的还没有达到,继续抛出问题:

“我们列举了好多数据,发现了这个结论,你还能从图①、图②中的数量关系本身,寻找更简明的方法吗?”学生又陷入深深地思考中,当我巡视各小组中出现了“图①:2a=c+b. 图②:a+b=c。”时,我知道,学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。

我们是不是都有这样的感受,课堂教学设计兼具“现实性”与“可能性”的特征,这意味着课堂教学设计方案与教学实施过程的展开之间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系,即课堂教学过程不是简单地执行教学设计方案的过程。

实际上每个人都存在最近发展区域,在课堂教学展开之初,我们可能先选取一个起点切入教学过程,但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动,就会不断形成多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学“新起点”。因此课堂教学设计的起点并不是唯一的,而是多元的;不是确定不变的,而是预设中生成的;不是按预设展开僵硬不变的,而是在动态中调整的。

案例4:对数学习题课的思考

(1)如图,△ABC中∠BAC=90°,AB=AC,BD ⊥MN,CE ⊥MN,则线段BD,DE,CE之间 存在等量关系。

(2)若直线MN绕点A旋转任意角度,还存在上述等量关系吗?试说明理由。

本课习题的选择设计比较好,涵盖了数学中的思维转换,由证明线段之间的关系转换到证明三角形全等,运用的主要方法有:(1)通过画图(实验)、观察、猜想、证明等活动,研究数学;(2)沟通条件与结论的联系,实现转化;(3)由于习题具备了一定的开放性,因此思维也要具有一定的深广度。

我们发现讲了第一问之后,为什么部分学生仍然不会解题呢?学生基础较差是一个原因,在教学上有没有原因?我个人感觉,主要存在这样三个问题:

(1)学生思维没有形成。教师只讲怎么做,没有讲为什么这么做。教师把证明思路都说了出来,没有引导学生如何去分析,剥夺了学生思维空间;

(2)缺少数学思想、方法的归纳,没有揭示数学的本质。出现讲了这道题会做,换一道题不会做的状况;

(3)题目是动态的条件开放题,相对于题1是扩散思维,思维要求高,学生难把握,教师缺少必要的指导与点拨。

修正:根据上述分析,题1的教学设计可做如下改进:

首先,对于开始例题证明的教学,提出“序列化”思考题:

(1)由题目中的条件你能联想到哪些知识?

(2)证明线段之间的关系,我们学了什么方法?

设计意图:上述问题(1)激活知识;问题(2)渗透间接解决问题的思想方法;(3)渗透了归纳解决这类问题的能力。

启示:习题课教学,例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系,纲举则目张。在例题教学中,教师要指导学生学会思维,揭示数学思想,归纳解题方法策略。可以尝试以下方法:

(1)激活、检索与题相关的数学知识。知识的激活、检索缘于题目信息,如由条件联想知识,由结论联系知识。知识的激活和检索标志着思维开始运作;

(2)在思维的障碍处启迪思维。思维源于问题,数学思维是隐性的心理活动,教师要设法采取一定的形式,凸显思维过程,如:设计相关的思考问题,分解题设障碍,启迪学生有效思维。

(3)及时归纳思想方法与解题策略。从方法论的角度考虑,数学习题教学,意义不在习题本身,数学思想方法、策略才是数学本质,习题仅是学习方法策略的载体,因此,方法策略的总结是很有必要的。题1的归纳总结使题2迎刃而解,两题的实质是一样的。学生在解题2时,会试图模仿题1,这是解题策略问题。题2条件确定,可以通过画图、观察发现,通过简单的推理发现后才可解决问题。

案例5:对课堂提问的思考

一堂公开课——“相似三角形的性质”,为了了解学生对相似三角形判定的掌握情况,提出两个问题:

(1)什么叫相似三角形?

(2)相似三角形有哪几种判定方法?

听了学生流利、圆满的回答,教师满意地开始了新课教学。老师们对此有何评价?事实上学生回答的只是一些浅层次记忆性知识,并没有表明他们是否真正理解。可以将提问这样设计:

如图,在△ABC和△A′B′C′中,

(1)已知∠A=∠A?,补充一个合适的条件,使△ABC∽△△A′B′C′

(2)已知AB=A′B′;BC=B′C′补充一个合适的条件,使△ABC∽△△A′B′C′

回答这样的问题,仅靠死记硬背是不行的,只有在真正掌握了相似三角形判定的基础上才能正确回答。这样的提问能起到反思的作用,学生的思维被激活,教学的有效性能够提高。

案例2:一堂讲菱形的判定定理(是讲对角线互相垂直平分的四边形是菱形)的课,教师画出图形后,有一段对话:

师:四边形ABCD中,AC与BD互相垂直平分吗?

生:是!

师:你怎么知道?

生:这是已知条件!

师:那么四边形ABCD是菱形吗?

生:是的!

师:能通过证三角形全等来证明结论吗?

生:能!

老师们感觉怎样?实际上,老师已经指明用全等三角形证明四边形的边相等,学生几乎不怎么思考就开始证明了,所谓的“导学”实质成了变相的“灌输”。虽从表面上看似热闹活跃,实则流于形式,无益于学生积极思维。提问可能存在的误区:为了提问而提问,学生被当做道具

获得随声附和的答案

不需思考,总结标准答案

少数同学参与

提问过多,问题琐碎,绕弯子

问题笼统不清,学生不知所措

问题与学生认知水平、兴趣特点不匹配

可以这样修正一下提问的设计:

(1)菱形的判定已学过哪几种方法?(1、一组邻边相等的平行四边形是菱形;2、四边相等的四边形是菱形)

(2)两种方法都可以吗?证明边相等有什么方法?(1、全等三角形的性质;2、线段垂直平分线的性质)

(3)选择哪种方法更简捷?

老师们感觉怎样?这位教师提问,只满足单一的标准答案,一味强调机械套用解题的一把步骤和“通法”。殊不知,这学生的思维应该富有创造性,这种偶尔闪现的创造性思维的火花都没有被释放,反而被教师“标准的格式”轻易否定而窒息扼杀了。有的老师提问后留给学生思考时间过短,学生没有时间深入思考,结果问而不答或者答非所问;有的老师提问面过窄,多数学生成了陪衬,被冷落一旁,长期下去,被冷落的学生逐渐对提问失去兴趣,上课也不再听老师的,对学习失去动力。

关于课堂提问,我感觉要注意以下问题:

(1)提问要关注全体学生。提问内容设计要由易到难,由浅入深,要富有层次性,不同的问题要提问不同层次的学生;

(2)提问要有思考的价值,课堂提问要选择一个“最佳的智能高度”进行设问,是大多数学生“跳一跳,够得着”;

(3)提问的形式和方法要灵活多样。注意提问的角度转换,引导学生经历尝试、概括的过程,充分披露灵性,展示个性,让学生得到的是自己探究的成果,体验的是成功的快乐,使“冰冷的,无言的”数学知识通过“过程”变成“火热的思考”。用冰山理论来分析,学生的潜能实际上是无穷大的,他们所发挥出来的是“冰山以上的部分”包括基本知识、基本技能,是外在表现,是容易了解与测量的部分,而真正发生改变和发展的是“冰山以下的部分”包括社会角色、自我形象、特质和动机,是人内在的、难以测量的部分,它们不太容易通过外界的影响而得到改变,但却对人的行为与表现起着关键性的作用。提供机会让学生思考,你可以获得意想不到的效果。

上面只是我个人浅显的认识,教学工作任重而道远,还需要我们全体教师共图努力。最后有几句话与大家共勉:(略)

一个教学应该包含哪些要素?或者说我们的设计活动应该考虑哪些要素更准确一些。那我觉得,首先一个要素是这个教学活动的目的。我为什么要设计那么一个活动?那么目的包括是语音知识目的,还是语言技能目的?还是情感态度或者决策等等。不要管它,但是要有一个明确的目标。

那么接下来就是在这个活动要涉及到的语言技能,或者是语言知识。每一个活动都要涉及到,有些是知识,有些是技能,特别是技能,因为我们讲教学活动主要是培养学生技能的,所以你比方说听、说、读、写,是哪一种技能,或者是哪几种技能?都有可能。

第三个要素就是活动的层次,或者是难易度。你看我们在备课的时候,或者我们在设计教学活动中,我们往往说这个活动适合哪个年级,或者适合哪个程度的学生,所以要考虑这一点。当然,作为一线老师来讲的话,因为你教的班相对稳定,所以你教的活动肯定适合你那一个年级。

第四个就是材料,就是学生和老师为了完成这个教学活动都需要用到哪些材料。包括这个纸制材料和这个图片音视频材料等等。这都要求有材料。

第五个要素就是活动的程序,或者叫活动的步骤。一个活动你需要哪几个环节,或者哪几个步骤?因为活动肯定要分一些步骤的,先做什么后做什么要考虑到。

    第六个就是活动的参与者。用我们过去的话讲,谁做什么?和谁或者谁和谁做什么?是学生和学生做活动?还是学生与老师做活动?是两个人之间还是多个人之间?这个参与者非常重要。

第七个要素就是活动变化的多样形式,也就是说,活动设计者有一种思路,但是活动在实际实施过程中会有一些调整和变化,特别是我们上课之前,老师备课的时候只能想好了可能这样,可能那样,但实际做的时候,是有些变化的,这个我们可能很多老师都有过体会,或者我们不把它叫变化,叫活动的灵活性,就是根据课堂的实际发生来灵活处理。

    最后一个,第八个要素,是活动的评价方式和评价的手段。就是这个活动做完以后,你用什么方式来评价学生做活动的情况。它是不是完整活动?完成效果怎么样?另外学习效果怎么样?需要有一个明确的或者是具体的一个评价的方式。

 

 

 

 

●经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程,掌握数与代数的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。

●经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程,掌握空间与图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。

●经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程,掌握统计与概率的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。

 

 

●经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维。

●丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维。

●经历运用数据描述信息、作出推断的过程、发展统计观念。

●经历观察、实验、猜想。证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初 步的演绎推理能力、能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

 

 

●初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识 和技能解决问题,发展应用意识。

●形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践 能力与创新精神。

●学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果。

●初步形成评价与反思的意识。

 

 

●能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心与求知欲。 ●在数学学习活动中获得成功的体验。锻炼克服困难的意志,建立自信 心。 ●初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,体验数 学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 ●形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体,对人的发展具有十分重要的作用,它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中,数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习,同时,知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。

我仅从四个方面,借助教学案例分析的形式,向老师们汇报一下我个人数学教学的体会,这四个方面是:

1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合;2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整;3.对数学习题课的思考;4.对课堂提问的思考。

首先,结合《勾股定理》一课的教学为例,谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整合

案例1《勾股定理》一课的课堂教学

第一个环节:探索勾股定理的教学

师(出示4幅图形和表格):观察、计算各图中正方形ABC的面积,完成表格,你有什么发现?

 

 

 

 

 

A的面积

B的面积

C的面积

图1

 

 

 

图2

 

 

 

图3

 

 

 

生:从表中可以看出AB两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且,从图中可以看出正方形AB的边就是直角三角形的两条直角边,正方形C的边就是直角三角形的斜边,根据上面的结果,可以得出结论:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这里,教师设计问题情境,让学生探索发现“数”与“形”的密切关联,形成猜想,主动探索结论,训练了学生的归纳推理的能力,数形结合的思想自然得到运用和渗透,“面积法”也为后面定理的证明做好了铺垫,双基教学寓于学习情境之中。

第二个环节:证明勾股定理的教学

教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片,先分组拼图探究,在交流、展示,让学生在实践探究活动中形成新的能力 (试图发现拼图和证明的规律:同一个图形面积用不同的方法表示)。

学生展示略

通过小组探究、展示证明方法,让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来,并试图通过几何意义的理解构造图形,让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法,提升创新思维能力。

第三个环节:运用勾股定理的教学

师(出示右图):右图是由两个正方形

组成的图形,能否剪拼为一个面积不变的新

的正方形,若能,看谁剪的次数最少。

生(出示右图):可以剪拼成一个面积

不变的新的正方形,设原来的两个正方形的

边长分别是ab,那么它们的面积和就是

a2+ b2,由于面积不变,所以新正方形的面积

应该是a2+ b2,所以只要是能剪出两个以ab

为直角边的直角三角形,把它们重新拼成一个

边长为    a2+ b2  的正方形就行了。

问题是数学的心脏,学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用,更是对勾股定理探究方法和证明思想(数形结合思想、面积割补的方法、转化和化归思想)的综合运用,从而让学生在解决问题中发展创新能力。

第四个环节:挖掘勾股定理文化价值

师:勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,见数与形密切联系起来。它在培养学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独特的作用。勾股定理最早记载于公元前十一世纪我国古代的《周髀算经》,在我国古籍《九章算术》中提出“出入相补”原理证明勾股定理。在西方勾股定理又被成为“毕达哥拉斯定理”,是欧式几何的核心定理之一,是平面几何的重要基础,关于勾股定理的证明,吸引了古今中外众多数学家、物理学家、艺术家,甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵,希望同学们课后查阅相关资料,了解数学发展的历史和数学家的故事,感受数学的价值和数学精神,欣赏数学的美。

新课程三维目标(知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观)从三个维度构建起具有丰富内涵的目标体系,课程运行中的每一个目标都可以与三个维度发生联系,都应该在这三个维度上获得教育价值。

14张:

现代课堂教学不仅仅是让学生取得一个装知识的袋囊,而是从多方位、多角度促进学生全方面的发展。如何在教学中更好地应用开放式教学,如何为开放式教学提供更完整的理论体系,如何处理好开放式教学中“放”与“收”的关系,这些都是开放式教学在实施过程中所面临的问题。然而教师在钻研新教材,把握教学内容的前提下,适当地应用开放式教学,对于学生的自主发展、创新思维的培养、实践能力的提高都将有较大的帮助,是实施素质教育的一个有效途径。

 

2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整

案例2年前,在鲁教版七年级数学上册《配套练习册》第70页,遇到一道填空题:

例:设abc分别表示三种质量不同的物体,如图所示,图①、图②两架天平处于平衡状态。为了使第三架天平(图③)也处于平衡状态,则“?”处应放       个物体b?

a

 

a

 

b

 

c

 

 


 

图①                        图②

a

 

c

                                   

                                   ?

 

图③

通过调查,这个问题只有极少数学生填上了答案,还不知道是不是真的会解,我需要讲解一下。

我讲解的设计思路是这样的:

一.引导将图①和图②中的平衡状态,用数学式子(符号语言——数学语言)表示(现实问题数学化——数学建模):

图①:2a=cb. 图②:  ab=c.

因此,2a=ab)+b.   

可得:a=2b,  c=3b .

所以,ac = 5b.

 答案应填5.

我自以为思维严密,有根有据。然而,在让学生展示自己的想法时,却出乎我的意料。

学生1这样思考的:

假设b=1,a=2,c=3.所以,ac = 5,答案应填5.

学生这是用特殊值法解决问题的,虽然特殊值法也是一种数学方法,但是存在很大的不确定性,不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”,我必须深化学生的思维,但是,还不能打击他的自信心,必须保护好学生的思维成果。因此,我立刻放弃了准备好的讲解方案,以学生思维的结果为起点,进行调整。

我先对学生1的方法进行积极地点评,肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用,当那几个同样做法的学生自信心溢于言表时,我随后提出这样一个问题:

“你怎么想到假设b=1, a=2, c=3?abc是不是可以假设为任意的三个数?”

有的学生不假思索,马上回答:“可以是任意的三个数。”也有的学生持否定意见,大多数将信将疑,全体学生被这个问题吊足了胃口,我趁机点拨:

“验证一下吧。”

全班学生立刻开始思考,验证,大约有3分钟的时间,学生们开始回答这个问题:

b=2,a=3,c=4时不行,不能满足图①、图②中的数量关系。”

b=2,a=4,c=6时可以。结果也该填5.”

b=3,a=6,c=9时可以,结果也一样。”

b=4,a=8,c=12时可以,结果也一样。”

“我发现,只要ab的2倍,cb的3倍就能满足图①、图②中的数量关系,结果就一定是5.”

这时,学生的思维已经由特殊上升到一般了,也就是说在这个过程中,学生的归纳推理得到了训练,对特殊值法也有了更深的体会,用字母表示发现的规律,进而得到a=2bc=3b .所以,ac = 5b.  答案应填5.

我的目的还没有达到,继续抛出问题:

“我们列举了好多数据,发现了这个结论,你还能从图①、图②中的数量关系本身,寻找更简明的方法吗?”学生又陷入深深地思考中,当我巡视各小组中出现了“图①:2a=cb. 图②:ab=c.”时,我知道,学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。

我们是不是都有这样的感受,课堂教学设计兼具“现实性”与“可能性”的特征,这意味着课堂教学设计方案与教学实施过程的展开之间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系,即课堂教学过程不是简单地执行教学设计方案的过程。

在课堂教学展开之初,我们可能先选取一个起点切入教学过程,但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动,就会不断形成多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学“新起点”。因此课堂教学设计的起点并不是唯一的,而是多元的;不是确定不变的,而是预设中生成的;不是按预设展开僵硬不变的,而是在动态中调整的。

3.一节数学习题课的思考

案例3:一位教师的习题课,内容是“特殊四边形”。

该教师设计了如下习题:

A

 

O

 

F

 

E

 

B

 

H

 

G

 

C

题1 (例题)顺次连接四边形各边的中点,所得的四边形是怎样的四边形?并证明你的结论。

题2  如右图所示,△ABC中,中线BECF

交于OGH分别是BOCO的中点。

(1)              求证:FGEH;

(2)              求证:OF=CH.

O

 

F

 

A

 

E

 

C

 

B

 

D

题3  (拓展练习)当原四边形具有什么条件时,其中点四边形为矩形、菱形、正方形?

题4  (课外作业)如右图所示,

DE是△ABC的中位线,AF是边

BC上的中线,DEAF相交于点O.

(1)求证:AFDE互相平分;

(2)当△ABC具有什么条件时,AF DE

(3)当△ABC具有什么条件时,AFDE

 

F

 

G

 

E

 

H

 

D

 

C

 

B

 

A

教师先让学生思考第一题(例题)。教师引导学生画图、观察后,进入证明教学。

师:如图,由条件EFGH

是各边的中点,可联想到三角形中位

线定理,所以连接BD,可得EH、

FG都平行且等于BD,所以EH平行

且等于FG,所以四边形EFGH是平行四边形,下面,请同学们写出证明过程。

只经过五六分钟,证明过程的教学就“顺利”完成了,学生也觉得不难。但让学生做题2,只有几个学生会做。题3对学生的困难更大,有的模仿例题,画图观察,但却得不到矩形等特殊的四边形;有的先画矩形,但矩形的顶点却不是原四边形各边的中点。

评课:本课习题的选择设计比较好,涵盖了三角形中位线定理及特殊四边形的性质与判定等数学知识。运用的主要方法有:(1)通过画图(实验)、观察、猜想、证明等活动,研究数学;(2)沟通条件与结论的联系,实现转化,添加辅助线;(3)由于习题具备了一定的开放性、解法的多样性,因此思维也要具有一定的深广度。

为什么学生仍然不会解题呢?学生基础较差是一个原因,在教学上有没有原因?我个人感觉,主要存在这样三个问题:

(1)学生思维没有形成。教师只讲怎么做,没有讲为什么这么做。教师把证明思路都说了出来,没有引导学生如何去分析,剥夺了学生思维空间;

(2)缺少数学思想、方法的归纳,没有揭示数学的本质。出现讲了这道题会做,换一道题不会做的状况;

(3)题3是动态的条件开放题,相对于题1是逆向思维,思维要求高,学生难把握,教师缺少必要的指导与点拨。

修正:根据上述分析,题1的教学设计可做如下改进:

首先,对于开始例题证明的教学,提出“序列化”思考题:

(1)平行四边形有哪些判定方法?

(2)本题能否直接证明EFFG , EH=FG? 在不能直接证明的情况下,通常考虑间接证明,即借助第三条线段分别把EH和FG的位置关系(平行)和数量关系联系起来,分析一下,那条线段具有这样的作用?

(3)由E、F、G、H是各边的中点,你能联想到什么数学知识?

(4)图中有没有现成的三角形及其中位线?如何构造?

设计意图:上述问题(1)激活知识;问题(2)暗示辅助线添加的必要性,渗透间接解决问题的思想方法;问题(3)、(4)引导学生发现辅助线的具体做法。

其次,证明完成后,教师可引导归纳:

我们把四边形ABCD称为原四边形,四边形EFGH称为中点四边形,得到结论:任意四边形的中点四边形是平行四边形;辅助线沟通了条件与结论的联系,实现了转化。原四边形的一条对角线沟通了中点四边形一组对边的位置和数量关系。这种沟通来源于原四边形的对角线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边,由此可感受到,起到这种沟通作用的往往是图形中的公共元素,因此,在证明中一定要关注这种公共元素。

然后,增设“过渡题”:原四边形具备什么条件时,其中点四边形为矩形?教师可点拨思考:

怎样的平行四边形是矩形?结合本题特点,你选择哪种方法?考虑一个直角,即中点四边形一组邻边的位置关系。一组邻边位置和数量关系的变化,原四边形两条对角线的位置和数量关系也随之变化。

根据修正后的教学设计换个班重上这节课,这是效果明显,大部分学生获得了解题的成功,几个题都出现了不同的证法。

启示:习题课教学,例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系,纲举则目张。在例题教学中,教师要指导学生学会思维,揭示数学思想,归纳解题方法策略。可以尝试以下方法:

(1)激活、检索与题相关的数学知识。知识的激活、检索缘于题目信息,如由条件联想知识,由结论联系知识。知识的激活和检索标志着思维开始运作;

(2)在思维的障碍处启迪思维。思维源于问题,数学思维是隐性的心理活动,教师要设法采取一定的形式,凸显思维过程,如:设计相关的思考问题,分解题设障碍,启迪学生有效思维。

(3)及时归纳思想方法与解题策略。从方法论的角度考虑,数学习题教学,意义不在习题本身,数学思想方法、策略才是数学本质,习题仅是学习方法策略的载体,因此,方法策略的总结是很有必要的。题1的归纳总结使题2迎刃而解,题2是将题1的凸四边形ABCD变为凹四边形ABOC,两题的实质是一样的。学生在解题3时,试图模仿题1,这是解题策略问题。题1条件确定,可以通过画图、观察发现,题3必须通过推理发现后才可画出图形。

4. 注意课堂提问的艺术

案例1:一堂公开课——“相似三角形的性质”,为了了解学生对相似三角形判定的掌握情况,提出两个问题:

(1)             什么叫相似三角形?

(2)             相似三角形有哪几种判定方法?

听了学生流利、圆满的回答,教师满意地开始了新课教学。老师们对此有何评价?

C

 

B

 

A

事实上学生回答的只是一些浅层次记忆性知识,并没有表明他们是否真正理解。可以将提问这样设计:

如图,在△ABC和△A?B?C?中,

(1)已知∠A=∠A?,补充一个合适的

C?

 

A?

 

B?

条件          ,使△ABC∽△A?B?C?;

(2)已知AB/A?B?=BC/B?C?;补充一个合适的

条件          ,使△ABC∽△A?B?C?.

回答这样的问题,仅靠死记硬背是不行的,只有在真正掌握了相似三角形判定的基础上才能正确回答。这样的提问能起到反思的作用,学生的思维被激活,教学的有效性能够提高。

案例2:一堂讲菱形的判定定理(是讲对角线互相垂直平分的四边形是菱形)的课,教师画出图形后,有一段对话:

师:四边形ABCD中,ACBD互相垂直平分吗?

B

 

C

 

A

 

D

生:是!

师:你怎么知道?

生:这是已知条件!

师:那么四边形ABCD是菱形吗?

生:是的!

师:能通过证三角形全等来证明结论吗?

生:能!

老师们感觉怎样?实际上,老师已经指明用全等三角形证明四边形的边相等,学生几乎不怎么思考就开始证明了,所谓的“导学”实质成了变相的“灌输”。虽从表面上看似热闹活跃,实则流于形式,无益于学生积极思维。可以这样修正一下提问的设计:

(1)菱形的判定已学过哪几种方法?(1.一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.四边相等的四边形是菱形)

(2)两种方法都可以吗?证明边相等有什么方法?(1.全等三角形的性质;2.线段垂直平分线的性质)

(3)选择哪种方法更简捷?

案例3:“一元一次方程”的教学片段:

师:如何解方程3x3=-6(x1)?

生1:老师,我还没有开始计算,就看出来了,x =1.

师:光看不行,要按要求算出来才算对。

生2:先两边同时除以3,再……(被老师打断了)

师:你的想法是对的,但以后要注意,刚学新知识时,记住一定要按课本的格式和要求来解,这样才能打好基础。

老师们感觉怎样?这位教师提问时,把学生新颖的回答中途打断,只满足单一的标准答案,一味强调机械套用解题的一把步骤和“通法”。殊不知,这两名学生的回答的确富有创造性,可惜,这种偶尔闪现的创造性思维的火花不仅没有被呵护,反而被教师“标准的格式”轻易否定而窒息扼杀了。其实,学生的回答即使是错的,教师也要耐心倾听,并给与激励性评析,这样既可以帮助学生纠正错误认识,又可以激励学生积极思考,激发学生的求异思维,从而培养学生思维能力。

有的老师提问后留给学生思考时间过短,学生没有时间深入思考,结果问而不答或者答非所问;有的老师提问面过窄,多数学生成了陪衬,被冷落一旁,长期下去,被冷落的学生逐渐对提问失去兴趣,上课也不再听老师的,对学习失去动力。

关于课堂提问,我感觉要注意以下问题:

(1)提问要关注全体学生。提问内容设计要由易到难,由浅入深,要富有层次性,不同的问题要提问不同层次的学生;

(2)提问要有思考的价值,课堂提问要选择一个“最佳的智能高度”进行设问,是大多数学生“跳一跳,够得着”;

(3)提问的形式和方法要灵活多样。注意提问的角度转换,引导学生经历尝试、概括的过程,充分披露灵性,展示个性,让学生得到的是自己探究的成果,体验的是成功的快乐,使“冰冷的,无言的”数学知识通过“过程”变成“火热的思考”。

 

 
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